Le vernier

Nous allons prendre des mesures. Toute­fois, avant de mesurer quelque chose, il faut toujours définir l’unité de mesure avec laquelle on prendra les mesures. Les garçons russes se souviennent d’une chanson qui dit «Mais en perroquets je suis beau­coup plus haut!»

Comment faut–il mesurer «en perroquets» par un pied à coulisse? Les têtes situées infé­rieu­re­ment è la règle fixe graduée son utili­sées pour les dimen­sions exté­rieures, quand il faut mesurer, par exemple, le diamètre exté­rieur d’un tuyau. Les ergots qui se trouvent supé­rieu­re­ment à la règle graduée sont utili­sées pour les dimen­sions inté­rieures, comme, par exemple, le diamètre inté­rieur d’un tuyau. Pour finir, il y a encore une «queue» qui affleure le bout de la règle, pour mesurer la profon­deur, par exemple, d’un trou. Ces trois parties sont fixées à une barre coulis­sant qui mesure 15 perroquets.

Nous allons mesurer un écrou hexa­gonal. Malheu­reu­se­ment, l’encoche du zéro de la barre coulis­sant, qui indique la taille de l’écrou, se trouve entre deux divi­sions de la règle prin­ci­pale. Tout ce que cette mesure nous permet de dire c’est que l’écrou est plus de sept perroquets, mais moins de huit. Il est diffi­cile de définir sa taille plus préci­sé­ment par l’oeil.

Une méthode qui ne complique pas la construc­tion du même pied à coulisse, mais permet des résul­tats plus précis, a été inventée il ya quelques siècles. Il ne s’agit que d’ajouter sur la barre coulis­sante une échelle graduée supplé­men­taire, le vernier.

Sur la barre coulis­sant marquons dis encoches après le zéro de réfé­rence, qui coïn­cident avec celles de la règle prin­ci­pale. Main­te­nant on comprime unifor­mé­ment ces dis divi­sions de façons qu’elles occupent neuf divi­sions de l’échelle prin­ci­pale. Ce dispo­sitif fut inventé en 1631 par le mathé­ma­ti­cien Pierre Vernier. Dans certaines langues, il porte le nom de nonius, nom lati­nisé de l’astro­nome et mathé­ma­ti­cien portu­gais Pedro Nunes (1502—1578), qui avait inventé, avant Vernier, un système pareil.

Il arrive que la règle supplé­men­taire construite de cette manière permet de faire des mesures avec une préci­sion de $0{,}1$ perroquets. Mais comment?

Nous mesu­rons l’écrou à nouveau. Le zéro de réfé­rence de la barre coulis­sante sera, comme avant, entre la septième et la huitième divi­sion. Cela signifie que notre mesure contient sept perroquets entiers. Main­te­nant obser­vons les encoches de la règle supplé­men­taire de gauche à droite et cher­chons celle qui coïn­cide avec l’une des encoches de l’échelle prin­ci­pale. Dans notre cas, cela arrive à la cinquième encoche. Par consé­quent, la mesure de l’écrou est égale à $7 + 5 × 0{,}1 = 7{,}5$ (perroquets).

Expliquez mathé­ma­tique­ment l’argu­ment ci–dessus. Pensez à comment utiliser la même idée pour obtenir plus de préci­sion.