Etudes

Sur le trajet d’une motocyclette il y a un caillou qui s’est collé au pneu de la roue postérieure. Il tourne avec le roue un certain nombre de fois et enfin il se détache du pneu: dans quelle direction volera-t-il ? E direction opposée à celle de la marche ou dans la même direction ?

Ellipse

Point, point, virgule — minois ridicule (poeme russe). Pres de la meme maniere vous pouvez dessiner des courbes que les mathematiciens appellent ellipse.

Antenne parabolique

Pourquoi la plupart des antennes paraboliques modernes se ressemblent? Vous avez appris la reponse a cette question sous une forme implicite a l’ecole.

La Chainette

Et vous savez comment monter sur des roues carrees?

Courbes (figures) de largeur constante3

Le triangle recourbé de Reuleaux

Soit donné un triangle équilatéral (avec les côtés égaux). Sur chaque côté on construit un arc de cercle avec un rayon égal à la longueur du côté. La courbe ainsi obtenue s’appelle ”triangle de Reuleaux”.

Faires des trous carrés

Par une perceuse on peut faire des trous, non seulement rondes, mais aussi carrés ! Il suffit d’avoir un foret particulier. Et lequel précisément Vous allez le savoir en regardant ce film.

Inventer la roue

Un charriot avec des roues non circulaires , peut-il aller sans secousses sur un sol lisse?

La geometrie interieure des polyhedres4

Developpement

Qu’est-ce donc que le developpement d’un polyedre? Vous diriez que c’est un morceau de carton a partir duquel on peut former un polyedre donne. C’est en partie vrai, mais ce n’est pas toute la verite. Il est montre que la notion de developpement contient beaucoup plus qu’un simple morceau de carton.

C’est donc un developpement?!

Les developpements des polyedres les plus courants pour nous, ne ressemblent pas toujours a ce qu’on croit…

Anti-Dürer (avec N. P. Dolbilin)

Voici un problème non résolu: trouver un polyèdre convexe dont chaque développement, qui se compose d’une seule pièce, a quelque superposition.

Parquet cubique (avec S. P. Konovalov)

De combien de facons peut etre coupe un cube en carton le long des bords de maniere a former des morceaux de carton qu’on peut placer sur le sol? Il est curieux que le parquet dans votre chambre peut etre forme par n’importe quel patron de cube.

La geometrie exterieure des polyhedres4

Augmenter le volume des polyèdres convexes

Vous souvenez-vous de la forme du berlingot, le paquet de lait il y a cinquante ans? Il est surprenant que dans toute l’Europe, y comprise la Russie, on les achetait presque tous les jours pendant vingt ans, mais peux de gens rappellent exactement ce qui était écrit dessus.

Surprenants volumes des polyedres

Est-il possible de faire un polyedre convexe et un concave a partir d’un seul pan? Bien sur, c’est possible, direz-vous. Un des exemples est presente sur le dessin. On a reussi a faire un polyedre convexe et un concave d’un assemblage de pans. Lequel des deux aura un volume superieur?

Placement regulier par morceaux d’un polyedre

Peut-on plier le patron d’un polyedre en corps ferme, dont les cotes proviendront non pas des morceaux des faces, mais des morceaux des surfaces planes? C’est incroyable de voir comment les mathematiques sont jeunes. Les exemples consideres sont les premiers et sont nes en automne 2004.

Polyèdres flexibles

S’il vous est arrivé de construire une étagère, alors vous vous souvenez très bien que, jusqu’à ce que vous avez fixé la paroi arrière, l’étagère fléchit. Comme vous ajoutez la paroi arrière, l’étagère, qui devient un polyèdre pas fermée, devient rigide. Si vous ajoutez ensuite aussi une paroi de façade ou une autre pièce, qui ferme le polyèdre, l’étagère ne perd pas, bien sûr, sa propriété de rigidité?

Mécanismes à charnières7

Mécanismes à charnières

Chacun a vu comment les essuie-glaces de la voiture balayent loin l’eau rapidement. Mais si vous montrez ce mécanisme à un mécanique il vous dira que ça ne peut pas marcher!

La machine plantigrade de Tchebyshev

Est-ce que vous pensez qu’une machine qui marche appartient à l’avenir? Vous vous trompez.

La règle de Lipkin

Après l’invention de la machine à vapeur par James Watt on chercha de résoudre le problème de la construction d’un mécanisme à charnières, qui allait transformer le mouvement circulaire d’une charnière dans le déplacement d’une autre charnière en ligne droite. Pendant longtemps, les scientifiques et les ingénieurs ne pouvaient pas trouver la solution à ce problème. Ils ont été aidés, enfin, par une belle théorie mathématique…

Translations et rotations

Elevons une feuille de papier à partir du sol e laissons-le, afin qu’il tombe sur le sol au hasard mais sans se renverser. Presque toujours, de sa nouvelle position la feuille pourra revenir à la position initiale par une rotation du plan…

La trisection de l’angle

Le problème de diviser un angle en trois parties égales ne peut pas être résolu par les méthodes de la géométrie euclidienne: la règle et le compas. Mais il y a un mécanisme à charnières qui permet de le faire!

Le mécanisme paradoxal de Tchebyshev

Il semblerait qu’un mécanisme planaire à charnières doit fonctionner d’une façon unique, toutefois, comme ce ”mécanisme paradoxal” inventé par P.L. Tchebyshev le montre, ce n’est pas toujours le cas. Et la cause c’est la présence de points singuliers…

Degres de liberte (avec M. Kovalev)

Est-ce que le nombre de degres de liberte est bien determine pour chaque mecanisme? Y a-t-il des mecanismes avec le nombre de degres de liberte variable? En fait, il y a…

Continuité2

Continuité

Notre observation du monde, basée de notre enfance sur la notion de continuité, résulte être un outil puissant utilisé dans la démonstration de certaines propositions mathématiques.

Le problème du sandwich

Est-ce que l’on peut couper par une section planaire un sandwich fait d’une tranche de pain, une de fromage et une de jambon d’une manière que les deux parties contiennent les mêmes quantités de pain, de fromage et de jambon?

D’autres sujets interessants16

Une coupe

Sur une feuille de papier, on a dessine un polygone spontane. Pourrions-nous plier la feuille de papier afin de decouper le polygone en une coupe droite lineaire?

Un escalier infini (avec S. P. Konovalov)

Deux machines, un tracteur un soulevateur, vont construire un escalier qui monte à l’infini, mais qui est infini aussi en horizontale. Inspirés par leur construction, ils démontrent la divergence de la série harmonique.

Reflecteur angulaire

Qu’est-ce qu’il y a de commun entre un velo et Lunakhod? Pourquoi le reflecteur de velo est visible la nuit seulement pour le conducteur qui l’eclaire et pas pour les autres?

Ombres (avec A. Kanel-Belov)

Trois projections orthogonales d’un solide sont carres. Doit-il etre cubique?

Quelle est la profondeur de la station du métro? (avec S. P. Konovalov)

L’escalier mécanique du métro… Combien de choses sont cachées derrière ces mots, pour un observateur curieux. Comment estimer la profondeur d’une station du métro, qui est accessible par un escalier mécanique ? Il arrive que même pour répondre à cette question il peut être utile de connaître les mathématiques!