Осторожно! Двери закрываются⁠

А соб­ственно как, по какой тра­ек­то­рии, откры­ваются и закры­ваются пово­ротно-рас­паш­ные двери, исполь­зу­емые в современ­ных мос­ков­ских элек­тро­бу­сах и авто­бу­сах?

Самая пер­вая задача (ещё во вве­де­нии) в вели­кой книге «Прямые и кри­вые» — задача про котёнка.

Ока­зы­ва­ется, что котё­нок движется по дуге окруж­но­сти.

Оги­бающей все­возмож­ных положе­ний лест­ницы явля­ется аст­ро­ида — тра­ек­то­рия точки окруж­но­сти, внут­рен­ним обра­зом катящейся без про­скаль­зы­ва­ния по непо­движ­ной окруж­но­сти в четыре раза большего ради­уса. Этот факт явля­ется част­ным слу­чаем ⁠⁠Тео­ремы о двух кругах.

Движе­ние точки по окруж­но­сти легко реа­ли­зу­ется тех­ни­че­ски: пово­ра­чи­вающийся вокруг оси рычаг. В пово­ротно-рас­паш­ных две­рях с внеш­ней сто­роны поло­винки двери стоит трубка, кото­рая внизу про­сто надета на непо­движ­ный стержень, а над две­рью, под кожу­хами, рас­по­ложен при­вод. К трубке жёстко при­ва­рен рычаг, кото­рый при пово­роте откры­вает поло­винку двери за её сере­дину, за «котёнка». Над две­рью есть прямо­ли­ней­ные направ­ляющие, кото­рые задают движе­ние одной из точек поло­винки двери.

Прямой угол, по кото­рому сколь­зит «лест­ница», при­хо­дится пово­ра­чи­вать отно­си­тельно линии закрытых две­рей так, чтобы при открытии они не пере­се­ка­лись с труб­кой-при­во­дом. Но движе­ние поло­винки пово­ротно-рас­паш­ных две­рей зада­ётся движе­нием лест­ницы из книги «Прямые и кри­вые». Сама лест­ница заме­тает аст­ро­иду, а дверь — экви­ди­станту от повёр­ну­той чет­вер­тинки аст­ро­иды, что можно заме­тить по пыли, скап­ли­вающейся за створ­ками.

Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω было напи­сано над вхо­дом в афин­скую Ака­демию, осно­ван­ную Пла­то­ном, — не знающий геомет­рию да не вой­дёт (ἀ — отрица­ние: негеометр). А вы теперь зна­ете, как рабо­тают пово­ротно-рас­паш­ные двери, и можете смело вхо­дить.